Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x，x∈R．
（1）將函數(shù)化為f（x）=Asin（ωx+ϕ）+b形式．
（2）求函數(shù)的最大值，并求此時x的相應(yīng)值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，可得結(jié)論．
（2）利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）的最大值，以及此時x的相應(yīng)值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$．
（2）∵當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z時，sin（2x-$\frac{π}{6}$）取得最大值為1，
故f（x）的最大值為1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，此時，x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．