在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的方程為x-y+4=0，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為
x=
3
cosα
y=sinα
（α為參數(shù)）．
（Ⅰ）已知在極坐標(biāo)（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（4，
π
2
），判斷點(diǎn)P與直線(xiàn)l的位置關(guān)系；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q是曲線(xiàn)C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線(xiàn)l的距離的最值．
（Ⅲ）請(qǐng)問(wèn)是否存在直線(xiàn)m，m∥l且m與曲線(xiàn)C的交點(diǎn)A、B滿(mǎn)足S△ABC=
3
4
；若存在請(qǐng)求出滿(mǎn)足題意的所有直線(xiàn)方程，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程,橢圓的參數(shù)方程
專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程
分析：（I）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可得出；
（II）設(shè)Q(
3
cos，sinα)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得點(diǎn)Q到直線(xiàn)l的距離d，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（III）假設(shè)存在直線(xiàn)m，m∥l且m與曲線(xiàn)C的交點(diǎn)A、B滿(mǎn)足S△AOB=
3
4
．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．設(shè)直線(xiàn)l：x-y+t=0．由曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為
x=
3
cosα
y=sinα
（α為參數(shù)），化為
x2
3
+y2=1．聯(lián)立方程得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式可得|AB|，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得原點(diǎn)O到直線(xiàn)m的距離，再利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出．
解答： 解：（I）由P(4，
π
2
)可得xP=4cos
π
2
=0，yP=4sin
π
2
=4．∴P（0，4）．
把P（0，4）代入直線(xiàn)l的方程：0-4+4=0，滿(mǎn)足直線(xiàn)l的方程，因此點(diǎn)P在直線(xiàn)l上．
（II）設(shè)Q(
3
cos，sinα)，∴點(diǎn)Q到直線(xiàn)l的距離d=
|
3
cosα-sinα+4|
2
=
|2cos(α+
π
6
)+4|
2
．
∵-1≤cos(α+
π
6
)≤1，∴2≤2cos(α+
π
6
)+4≤6．
∴
2
2
≤d≤
6
2
，即
2
≤d≤3
2
．
點(diǎn)Q到直線(xiàn)l的距離的最大值是3
2
，最小值是
2
．
（III）假設(shè)存在直線(xiàn)m，m∥l且m與曲線(xiàn)C的交點(diǎn)A、B滿(mǎn)足S△AOB=
3
4
．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
設(shè)直線(xiàn)l：x-y+t=0．由曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為
x=
3
cosα
y=sinα
（α為參數(shù)），化為
x2
3
+y2=1．
聯(lián)立
x-y+t=0
x2+3y2=3
，化為4x2+6tx+3t2-3=0．
∵直線(xiàn)l與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴△=36t2-16（3t2-3）＞0，化為t2＜4（*）．
∴x1+x2=-
3t
2
，x1x2=
3t2-3
4
．
∴|AB|=
(1+1)[(
9t2
4
-4×
3t2-3
4
)]
=
12-3t2
2
，
原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離d=
|t|
2
，
∴
1
2
|AB|d=
3
4
，
∴
1
2
12-3t2
2
×
|t|
2
=
3
4
，化為t4-4t2+3=0，解得t2=1或t2=3．滿(mǎn)足（*）．
∴存在直線(xiàn)m，m∥l且m與曲線(xiàn)C的交點(diǎn)A、B滿(mǎn)足S△AOB=
3
4
，
直線(xiàn)l為x-y±1=0，或x-y±
3
=0．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性、相互平行的直線(xiàn)的斜率之間的關(guān)系、橢圓的參數(shù)方程、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、三角形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

計(jì)算
∫
2
0
sinxdx=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)A（1，2，1），B（-1，3，4），且
AP
=2
PB
，則P的坐標(biāo)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

不等式-x2-5x+6≥0的解集為（　�。�
A、{x|x≤-6或x≥1}
B、{x|x≥6或x≤-1}
C、{x|-6≤x≤1}
D、{x|-1≤x≤6}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+b，x∈（-1，1），其中常數(shù)a、b∈R，
（1）若a是從-2，0，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)的概率；
（2）若a是從區(qū)間[-2，2]中任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]中任取的一個(gè)數(shù)，求函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

為調(diào)查某次考試數(shù)學(xué)的成績(jī)，隨機(jī)抽取某中學(xué)甲、乙兩班各十名同學(xué)，獲得成績(jī)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖（單位：分）
（Ⅰ）求甲班十名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；若甲班十名學(xué)生成績(jī)的平均分和乙班十名學(xué)
生成績(jī)的平均分分別記為
.
x1
、
.
x2
，試計(jì)算為
.
x1
-
.
x2
的值；
（Ⅱ）若定義成績(jī)大于等于120分為“優(yōu)秀成績(jī)”，現(xiàn)從甲、乙兩班樣本數(shù)據(jù)的“優(yōu)秀
成績(jī)”中分別抽取一人，求被抽取的甲班學(xué)生成績(jī)高于乙班的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l1的極坐標(biāo)方程為ρ（2cosθ+sinθ）=2，直線(xiàn)l2的參數(shù)方程為
x=1-2t
y=2+kt
（t為參數(shù)），若直線(xiàn)l1與直線(xiàn)l2垂直，則k=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）解不等式組
3x2+x-2≥0
4x2-15x+9＞0
．
（2）設(shè)a≠b，解關(guān)于x的不等式a2x+b2（1-x）≥[ax+b（1-x）]2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅》第十四條中有下表：
級(jí)別 全月應(yīng)納稅所得額 稅率（%）
1 不超過(guò)500元的部分 5
2 超過(guò)500元至2000元的部分 10
3 超過(guò)2000元至5000元的部分 15
… … …
目前，右表中“全月應(yīng)納稅所得額”是從總收入中減除2000元后的余額，例如：某人月總收入2520元，減除2000元，應(yīng)納稅所得額就是520元，由稅率表知其中500元稅率為5%，另20元的稅率為10%，所以此人應(yīng)納個(gè)人所得稅500×5%+20×10%=27元；
（1）請(qǐng)寫(xiě)出月個(gè)人所得稅y關(guān)于月總收入x（0＜x≤7000）的函數(shù)關(guān)系；
（2）某人在某月交納的個(gè)人所得稅為190元，那么他這個(gè)月的總收入是多少元？

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