已知圓x2+y2=1在矩陣M=
a0
0b
（a＞0，b＞0）對應的變換作用下得到橢圓x2+4y2=1，求矩陣M的特征值和特征向量．
考點：特征值與特征向量的計算
專題：選作題,矩陣和變換
分析：確定點在矩陣M=
a0
0b
對應的變換作用下得到點坐標之間的關系，利用變換前后的方程，求得矩陣M，列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．
解答： 解：設P（x0，y0）為圓上任意一點，在矩陣M=
a0
0b
對應的變換下變成另一點Q（x，y），
則
x
y
=
a0
0b
x0
y0
，即
x=ax0
y=bx0
 
又Q（x，y）滿足x2+4y2=1，則a2x02+4b2y02=1，
由x02+y02=1且P（x0，y0）的任意性及a＞0，b＞0，
故a=1，b=
1
2
，即矩陣M=
10
0
1
2
，…（5分）
矩陣M的特征多項式為f（λ）=
.
λ-10
0λ-
1
2
.
=（λ-1）（λ-
1
2
），
令f（λ）=0，解得M的特征值λ1=1，λ2=
1
2
，
從而求得對應的一個特征向量分別為
α1
=
1
0
，
α2
=
0
1
．    …（10分）
點評：此題主要考查矩陣的乘法及矩陣變換的性質(zhì)在圖形變化中的應用，考查了矩陣特征值與特征向量的計算等基礎知識，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

點P分有向線段
MN
的比為λ（即
MP
=λ
PN
），且|
MN
|=3|
NP
|，則λ的值是（　　）
A、4或-2B、-3或1
C、-4或2D、-3或-1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x+2 ， x＜-1
x2 ， -1≤x≤2
x+
4
x
 ，  x≥2

（1）在直角坐標系中畫出f（x）的圖象；
（2）若f（x）=5，求x值；
（3）用單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在如圖所示的幾何體中，△ABC是邊長為2的正三角形，△BCD為等腰直角三角形，且BD=CD，AE=2，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC．
（Ⅰ）求證：AC∥平面BDE；
（Ⅱ）求鈍二面角C-DE-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l1：3x+4y-5=0，直線l2：3x-4y+5=0，若動點P（x0，y0）到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為1：2，求y0=f（x0）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0．求證：
ad+bc
bd
+
bc+ad
ac
≥4；
（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，a+b+c=1，證明：
a+
2
3
+
b+
2
3
+
c+
2
3
≤3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某工科院校對A，B兩個專業(yè)的男女生人數(shù)進行調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：
專業(yè)A 專業(yè)B 總計
女生 12 4 16
男生 38 46 84
總計 50 50 100
能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為工科院校中“性別”與“專業(yè)”有關系呢？
注：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2≥k0） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a=50.6，b=0.65，c=log0.65，試比較a、b、c的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，平面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）證明：平面PBC⊥平面PDC；
（Ⅱ）若PA⊥AB，求二面角B-PD-C的余弦值．

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