Question

已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n+a_n=1．
（I） 求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=（n-2）a_n，且數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：數(shù)列{2ⁿT_n}為等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n+a_n=1，S_n-1+a_n-1=1，得S_n-S_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2），所以an=

1

2

an-1（n≥2），由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）bn=

n-2

2n

，對數(shù)列{b_n}進行錯位相減法得到Tn=

-n

2n

，由此能夠證明數(shù)列{2ⁿT_n}為等差數(shù)列．

解答：解：（Ⅰ）由S_n+a_n=1，
得S_n-1+a_n-1=1，
兩式相減得S_n-S_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2），
又由S_n-S_n-1=a_n，
得an=

1

2

an-1（n≥2），
∵S₁+a₁=2a₁=1，∴a1=

1

2

，
∴an=

1

2n

；…（7分）
（Ⅱ）∵數(shù)列{b_n}滿足b_n=（n-2）a_n，
∴bn=

n-2

2n

，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n=

1-2

2

+

2-2

22

+

3-2

23

+…+

n-2

2n

，①

1

2

Tn=

1-2

22

+

2-2

23

+

3-2

24

+…+

n-2

2n+1

，②
①-②，得到Tn=

-n

2n

，
∴2ⁿT_n=-n，
∴數(shù)列{2ⁿT_n}就是數(shù)列{-n}，是一個等差數(shù)列．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查等差數(shù)列的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意錯位相減法的合理運用．