Question

5．如圖所示，已知四邊形ABCD是矩形，M，N分別是AD，BC的中點，P是CD上一點，Q是AB上一點，PM與QN交于R，A是原點，B（2，0），C（2，1），D（0，1），P（t，1），Q（t，0），
（1）若$\overrightarrow{MP}⊥\overrightarrow{NP}$，求t的值
（2）求證：R，A，C三點共線．

Answer 1

分析 （1）求出相關(guān)向量，利用$\overrightarrow{MP}⊥\overrightarrow{NP}?\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{NP}=0$，求解即可．
（2）R，M，P三點共線，設(shè)出$\overrightarrow{MR}=x\overrightarrow{MP}$，R，N，Q三點共線，可設(shè)$\overrightarrow{NR}=y\overrightarrow{NQ}$，然后列出方程組求解證明即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{MP}=（t，1）-（0，\frac{1}{2}）=（t，\frac{1}{2}），\overrightarrow{NP}=（t，1）-（2，\frac{1}{2}）=（t-2，\frac{1}{2}）$…（3分
）$\overrightarrow{MP}⊥\overrightarrow{NP}?\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{NP}=0$，所以$t（t-2）+\frac{1}{4}=0$，$t=1±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（6分）
（2）R，M，P三點共線，可設(shè)，$\overrightarrow{MR}=x\overrightarrow{MP}$
所以$\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AM}+x\overrightarrow{MP}=（xt，\frac{1}{2}（1+x））$R，N，Q三點共線，可設(shè)，$\overrightarrow{NR}=y\overrightarrow{NQ}$
所以$\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AN}+y\overrightarrow{NQ}=（2+y（t-2），\frac{1}{2}（1-y））$…（10分）
根據(jù)平面向量的基本定理得：$\left\{{\begin{array}{l}{xt=2+y（t-2）}\\{\frac{1}{2}（1+x）=\frac{1}{2}（1-y）}\end{array}}\right.$，解得：$x=\frac{1}{t-1}，y=-\frac{1}{t-1}$
所以$\overrightarrow{AR}$=$（\frac{t}{t-1}，\frac{t}{2（t-1）}）=\frac{t}{2（t-1）}（2，1）=\frac{t}{2（t-1）}\overrightarrow{AC}$
所以R，A，C三點共線．…（15分）

點評 本題考查向量的應(yīng)用，向量共線與垂直條件的應(yīng)用，考查計算能力．