Question

16．已知關(guān)于x，y的方程C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若方程C表示圓，求m的取值范圍．
（2）若圓C與直線l：x+2y-4=0相交于M，N兩點，且MN=$\frac{4}{{\sqrt{5}}}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）將方程配方為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后分析表示圓的條件；
（2）由（1）得到m＜5，利用直線與圓相交得到的弦長，半徑與弦心距的關(guān)系求m．

解答 解：（1）方程C可化為  （x-1）²+（y-2）²=5-m，
顯然  5-m＞0時，即m＜5時方程C表示圓．
（2）圓的方程化為（x-1）²+（y-2）²=5-m圓心C（1，2），半徑$r=\sqrt{5-m}$，m＜5，
則圓心C（1，2）到直線l：x+2y-4=0的距離為$d=\frac{{|{1+2×2-4}|}}{{\sqrt{{1^2}+{2^2}}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}$，
∵M(jìn)N=$\frac{4}{{\sqrt{5}}}$，$\frac{1}{2}$MN=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
有${r^2}={d^2}+{（\frac{1}{2}MN）^2}$，
∴5-m=$\frac{1}{5}+\frac{4}{5}$，得  m=4．滿足m＜5，
所以m=4．

點評 本題考查了圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系；屬于基礎(chǔ)題．