Question

已知x，y∈R，滿足x²+2xy+4y²=6，則z=x²+4y²的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),不等式的解法及應(yīng)用

分析：x²+2xy+4y²=6變形為(x+y)2+(

3

y)2=6，設(shè)x+y=

6

cosθ，

3

y=

6

sinθ，θ∈[0，2π）．代入z=x²+4y²，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式、兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)整理即可得出．

解答： 解：x²+2xy+4y²=6變形為(x+y)2+(

3

y)2=6，
設(shè)x+y=

6

cosθ，

3

y=

6

sinθ，θ∈[0，2π）．
∴y=

2

sinθ，x=

6

cosθ-

2

sinθ，
∴z=x²+4y²=(

6

cosθ-

2

sinθ)2+4(

2

sinθ)2
=4sin2θ-4

3

sinθcosθ+6
=2×（1-cos2θ）-2

3

sin2θ+6
=8-4sin(2θ+

π

6

)，
∵sin(2θ+

π

6

)∈[-1，1]．
∴z∈[4，12]．
故答案為：[4，12]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．