Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=an2+a_n，n∈N．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

1

an2

，求證：對(duì)一切正整數(shù)n，有b₁+b₂+…+b_n＜

7

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由2S_n=a_n²+a_n，知2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，（n≥2），作差得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，由此說(shuō)明數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）把（1）中求得的通項(xiàng)公式代入b_n=

1

an2

，放大后裂項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求和后可得結(jié)論．

解答： （1）解：由2S_n=a_n²+a_n，①
得2S_n-1=a_n-1²+a_n-1（n≥2），②
①-②即得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
又2S1=2a1=a12+a1，得a₁=1，
∴a_n=n（n∈N^*）；
（2）證明：b_n=

1

an2

=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)，b1=1＜

7

4

，
當(dāng)n=2時(shí)，b1+b2=1+

1

4

=

5

4

＜

7

4

，
當(dāng)n≥3時(shí)，b₁+b₂+…+b_n＜1+

1

4

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=

7

4

-

1

n

＜

7

4

．
∴對(duì)一切正整數(shù)n，有b₁+b₂+…+b_n＜

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．