Question

9．如圖所示，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分線，△ADC的外接圓交線段BC于點E，BE=3AD．
（1）求證：AB=3AC； 
（2）當AC=4，AD=3時，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）證明△BDE∽△BCA，則$\frac{BE}{BA}=\frac{DE}{CA}$，利用三角形的角平分線的性質(zhì)，結(jié)合條件，得出AB=3AC； 
（2）根據(jù)割線定理得BD•BA=BE•BC，所以BC=12，EC=BC-BE=3，證明DE∥AC，在等腰梯形ACED中，求得CD的長．

解答 （1）證明：因為四邊形ACED為圓內(nèi)接四邊形，所以∠BDE=∠BCA，
又∠DBE=∠CBA，所以△BDE∽△BCA，則$\frac{BE}{BA}=\frac{DE}{CA}$，
在圓內(nèi)接四邊形ACED中，CD是∠ACE的平分線，
所以DE=AD，$\frac{BE}{BA}=\frac{AD}{CA}$，
而BE=3AD，所以BA=3CA，即AB=3AC．
（2）解：由（1）得AB=3AC=12，而AD=3，所以DE=3，BD=9，BE=3AD=9，
根據(jù)割線定理得BD•BA=BE•BC，所以BC=12，EC=BC-BE=3，
在圓內(nèi)接四邊形ACED中，由于AD=EC，所以∠ACD=∠EDC，DE∥AC，
在等腰梯形ACED中，求得$CD=\sqrt{21}$．

點評 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查角平分線的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．