Question

17．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=3+3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+at}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程以及直線l的普通方程；
（2）若直線l與曲線C交于B、D兩點(diǎn)，當(dāng)|BD|取到最小值時(shí)，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出曲線C的普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程；
（2）判斷直線l的定點(diǎn)A（-1，1）與圓C的位置關(guān)系得出當(dāng)AC⊥l時(shí)，|BD|最�。�利用斜率的關(guān)系列方程解出．

解答 解：（1）曲線C的普通方程為x²+（y-3）²=9，即x²+y²=6y，
∴曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=6ρsinθ，即ρ=6sinθ．
∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+at}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1=at}\\{y-1=t}\end{array}\right.$，
∴直線l的普通方程x+1=a（y-1），即x-ay+a+1=0．
（2）曲線C的圓心為C（0，3），設(shè)A（-1，1），則直線l橫過點(diǎn)A．
∵|AC|=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$＜3，
∴A在圓C內(nèi)部，
∴直線l與曲線C恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且當(dāng)AC⊥l時(shí)，|BD|取得最小值．
∴k_AC=$\frac{3-1}{0+1}$=2，直線l的斜率為$\frac{1}{a}$，
∴$\frac{2}{a}$=-1，解得a=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．