Question

5．求y=sin²x+sinx的增區(qū)間．

Answer 1

分析 設(shè)t=sinx，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)和正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)t=sinx，則-1≤t≤1，
則函數(shù)等價(jià)為y=f（t）=t²+t=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
對(duì)稱軸為t=$-\frac{1}{2}$，當(dāng)-1≤t≤$-\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)y=f（t）為減函數(shù)，
當(dāng)$-\frac{1}{2}$≤t≤1時(shí)，y=f（t）為增函數(shù)，
若求函數(shù)y=sin²x+sinx的增區(qū)間，
則函數(shù)t=sinx，和y=f（t）的單調(diào)性相同，
即當(dāng)y=f（t）為增函數(shù)時(shí)，滿足$-\frac{1}{2}$≤t≤1，且函數(shù)t=sinx為增函數(shù)，此時(shí)2kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
當(dāng)y=f（t）為減函數(shù)時(shí)，滿足-1≤t≤$-\frac{1}{2}$，且函數(shù)t=sinx為減函數(shù)，此時(shí)2kπ+$\frac{7π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
即函數(shù)的遞增區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，[2kπ+$\frac{7π}{6}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)和一元二次函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．