Question

（本小題滿分16分）
已知等差數(shù)列中，，令，數(shù)列的前項(xiàng)和為.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求證：；
（3）是否存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）.（2）.
（3）不存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列.
綜上，存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列.（16分）

(1)由于為等差數(shù)列,并且,易求出的通項(xiàng)公式,(2)在(1)的基礎(chǔ)上可得,則,再采用裂項(xiàng)求和的方示求和.
(3)先假設(shè)，，成等比數(shù)列,則,即,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823231326201487.png" style="vertical-align:middle;" />,所以下面討論按m=2,3,4,5,6,和幾種情況進(jìn)行討論求解.
數(shù)學(xué)II（附加題）
（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，.
解得，，∴.（4分）
（2）∵，，∴
∴
∴.（8分）
（3）由（2）知，，∴，，，
∵，，成等比數(shù)列，∴，即
當(dāng)時(shí)，，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，無(wú)正整數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，，無(wú)正整數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，，無(wú)正整數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，，無(wú)正整數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，，則，而，
所以，此時(shí)不存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列.
綜上，存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列.（16分）