Question

（2011•東城區(qū)模擬）已知函數(shù)f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+a，且f(

π

6

)=4．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)-

π

4

≤x≤

π

3

時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)f(

π

6

)=4，利用函數(shù)f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+a，可求a的值；
（Ⅱ）先利用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，可得f(x)=2sin(2x+

π

6

)+2，根據(jù)-

π

4

≤x≤

π

3

，可得-

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

，從而可求函數(shù)f（x）的值域

解答：解：（Ⅰ）由f(

π

6

)=4，可得2×(

3

2

)2+2

3

×

1

2

×

3

2

+a=4，---------（2分）
∴a=1．----------（4分）
（Ⅱ）f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+1=cos2x+

3

sin2x+2=2sin(2x+

π

6

)+2．--------------（8分）
∵-

π

4

≤x≤

π

3

，∴-

π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-

3

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，-------------（11分）
∴2-

3

≤f(x)≤4，
所以，函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="ky7i6x2" class="MathJye">[2-

3

，4]．---------（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題以三角函數(shù)為載體，考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)的值域，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)化簡(jiǎn)，從而利用三角函數(shù)的圖象求值域．