Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，底面ABC是邊長為4的正三角形，PA=PC=2

3

，側面PAC⊥底面ABC，M、N分別為AB、PB的中點
（1）求證：AC⊥PB；
（2）求空間幾何體PAMNC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取AC中點E，連結PE，BE，由已知得PE⊥AC，BE⊥AC，由此能證明AC⊥PB．
（2）由V_PAMNC=V_P-ABC-V_N-BMC=

3

4

VP-ABC，能求出空間幾何體PAMNC的體積．

解答： （1）證明：取AC中點E，連結PE，BE，
∵底面ABC是邊長為4的正三角形，PA=PC=2

3

，
∴PE⊥AC，BE⊥AC，
∵PE∩BE=E，∴AC⊥平面BPE，
∵PB?平面BPE，∴AC⊥PB．
（2）解：V_PAMNC=V_P-ABC-V_N-BMC，
∵N為PB中點，∴N到平面MBC的高為

1

2

PE，
又S△BMC=

1

2

S△ABC，
∴VN-MBC=

1

4

VP-ABC，
∴V_PAMNC=V_P-ABC-V_N-BMC
=

3

4

VP-ABC
=

3

4

×

1

3

×2

2

×

1

2

×4×2

3

=2

6

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．