Question

13．在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系．曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ（0$≤θ≤\frac{π}{2}$），直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求直線l的直角坐標方程和曲線C的參數(shù)方程；
（2）求曲線C上的動點M到直線l的距離的范圍．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)，可得直線l的直角坐標方程；由ρ=4cosθ得：x²+y²=4x，可得曲線C的參數(shù)方程；
（2）點M（2+2cosα，2sinα）到直線x-$\sqrt{3}$y+3=0的距離為d．d=$\frac{|2+2cosα-2\sqrt{3}sinα+3|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{1}{2}$[5-4sin（α-$\frac{π}{6}$）]，即可求曲線C上的動點M到直線l的距離的范圍．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去參數(shù)，得到直線x+3=$\sqrt{3}$y，即：x-$\sqrt{3}$y+3=0．
由ρ=4cosθ得：x²+y²=4x，即：（x-2）²+y²=4
∵0$≤θ≤\frac{π}{2}$，∴y≥0
故C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，0≤α≤π）；
（2）設點M（2+2cosα，2sinα）到直線x-$\sqrt{3}$y+3=0的距離為d．
d=$\frac{|2+2cosα-2\sqrt{3}sinα+3|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{1}{2}$[5-4sin（α-$\frac{π}{6}$）]，
∵0≤α≤π，
∴-$\frac{π}{6}$≤α-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（α-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\frac{1}{2}$≤d≤$\frac{7}{2}$，
即點M到直線l的距離的范圍是[$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$]．

點評 本題考查極坐標、參數(shù)方程、普通方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運用，考查點到直線距離公式的運用，屬于中檔題．