Question

1．如圖，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，PA=AB=BC，AD=2AB，點M，N分別在PB，PC上，且MN∥BC．
（Ⅰ）證明：平面AMN⊥平面PBA；
（Ⅱ）若M為PB的中點，且PA=1，求點D到平面AMC的距離．

Answer 1

分析 （1）由MN∥BC，BC∥AD，得MN∥AD．由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AD．結合AD⊥AB，PA∩AB=A，得AD⊥平面PBA，即可證得MN⊥平面PBA，又MN?平面AMN，即可證得結論；
（2）由幾何關系進行計算，運用等體積法是解題的關鍵．

解答 （Ⅰ）證明：∵MN∥BC，BC∥AD，∴MN∥AD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AD，
又∵AD⊥AB，PA∩AB=A，
∴AD⊥平面PBA，
∴MN⊥平面PBA，
又∵MN?平面AMN，
∴平面AMN⊥平面PBA．　　　　　　…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥平面PBA，又∵BC∥AD，
∴BC⊥平面PBA，∴BC⊥BM，
∵M為PB的中點，
∴在Rt△MBC中，$MB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，BC=1，
∴$MC=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
由題意可得$AM=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$AC=\sqrt{2}$，
∴AM²+AC²=MC²，
∴△AMC是直角三角形設點D到平面AMC的距離為h，
∵V_M-ADC=V_D-AMC，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{\sqrt{6}}}{2}×h$，
∴$h=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

點評 本題考查學生的推理論證能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．