Question

已知S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項和，滿足a₃=4，S₇=35；T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，滿足：T_n=2b_n-2（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{

1

an•(log2bn)

}的前n項和R_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式列出方程組，求出數(shù)列的首項和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式；由已知條件推導出{b_n}是以2為公比的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）由

1

an•(log2bn)

=

1

(n+1)•(log22n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項求和法能求出
數(shù)列{

1

an•(log2bn)

}的前n項和R_n．

解答： （本題共12分）
（1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差d，
∵a₃=4，S₇=35，∴

a1+2d=4 7a1+ 7×6 2 d=35

，
解得a₁=2，d=1，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1．…（3分）
T_n=2b_n-2，T_n-1=2b_n-1-2，（n≥2，n∈N*）
兩式相減得：b_n=2b_n-2b_n-1，
∴b_n=2b_n-1，且n=1也滿足，
∴{b_n}是以2為公比的等比數(shù)列，
又∵b₁=2，∴bn=2n．…（7分）
（2）解：∵

1

an•(log2bn)

=

1

(n+1)•(log22n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Rn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．