Question

為了加強環(huán)保建設，提高社會效益和經(jīng)濟效益，鄭州市計劃用若干年更換l0 000輛燃油型公交車，每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，更換的新車為電力型車和混合動力型車．今年初投入了電力型公交車l28輛，混合動力型公交車400輛，計劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%，混合動力型車每年比上一年多投入a輛．
（1）求經(jīng)過n年，該市被更換的公交車總數(shù)S（n）；
（2）若該市計劃用7年的時間完成全部更換，求a的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設a_n，b_n分別為第n年投入的電力型公交車，混合動力型公交車的數(shù)量，依題意，{a_n}是首項為128，公比為1+50%=

3

2

的等比數(shù)列，{b_n}是首項為400，公差為a的等差數(shù)列，由此可求出經(jīng)過n年，該市被更換的公交車總數(shù)S（n）；
（2）若計劃7年內(nèi)完成全部更換，所以S（7）≥10000，由此可得不等式，從而可求a的最小值．

解答： 解：（1）設a_n，b_n分別為第n年投入的電力型公交車，混合動力型公交車的數(shù)量，
依題意，{a_n}是首項為128，公比為1+50%=

3

2

的等比數(shù)列，{b_n}是首項為400，公差為a的等差數(shù)列，
{a_n}的前n項和S_n=

128×[1-( 3 2 )n]

1- 3 2

=256[(

3

2

)n-1]，{b_n}的前n項和T_n=400n+

n(n-1)

2

a
所以經(jīng)過n年，該市更換的公交車總數(shù)為：S（n）=S_n+Tⁿ=256[（

3

2

）ⁿ-1]+400n+

n(n-1)

2

a．
（2）若計劃7年內(nèi)完成全部更換，所以S（7）≥10000
所以256[（

3

2

）⁷-1]+400×7+

7×6

2

a≥10000
即21a≥3082，所以a≥146

16

21

又a∈N^*，所以a的最小值為147．

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，挖掘數(shù)量間的相互關系，合理地建立方程是解題的關鍵．