Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差數(shù)列{b_n}中，b_n＞0（n∈N^*），且b₁+b₂+b₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用恒等式a_n+1=2S_n+1構(gòu)造出a_n=2S_n-1+1兩者作差得出a_n+1=3a_n，數(shù)列的{b_n}的求解根據(jù)題意列出方程求d即可；
（2）中數(shù)列求和，利用錯(cuò)位相減法，即可得到結(jié)論

解答： 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），
∴a_n=2S_n-1+1（n∈N^*，n＞1），
∴a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1），
∴a_n+1-a_n=2a_n，
∴a_n+1=3a_n（n∈N^*，n＞1）
而a₂=2a₁+1=3=3a₁，∴a_n+1=3a_n（n∈N^*）
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=3^n-1（n∈N^*）
∴a₁=1，a₂=3，a₃=9，
在等差數(shù)列{b_n}中，
∵b₁+b₂+b₃=15，∴b₂=5．
又因a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，
∴（1+5-d）（9+5+d）=64
解得d=-10，或d=2，
∵b_n＞0（n∈N^*），
∴舍去d=-10，取d=2，
∴b₁=3，
∴b_n=2n+1（n∈N^*），
（2）由（1）知T_n=3×1+5×3+7×3²++（2n-1）3^n-2+（2n+1）3^n-1①
3T_n=3×3+5×3²+7×3³++（2n-1）3^n-1+（2n+1）3ⁿ②
①-②得-2T_n=3×1+2×3+2×3²+2×3³++2×3^n-1-（2n+1）3ⁿ，
=3+2（3+3²+3³++3^n-1）-（2n+1）3ⁿ
=3+2×

3-3n

1-3

-（2n+1）3ⁿ=3ⁿ-（2n+1）3ⁿ=-2n•3ⁿ，
∴T_n=n•3ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．