Question

已知拋物線y²=2px的準(zhǔn)線與雙曲線

x2

a2

-

y2

3a2

=1（a＞0）的兩條漸近線分別交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△MON的面積為

3

，點(diǎn)P（x，y）為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，又點(diǎn)A（-1，0），F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則

|PF|

|PA|

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：雙曲線

x2

a2

-

y2

3a2

=1（a＞0）的兩條漸近線方程為y=±

3

x，拋物線y²=2px的準(zhǔn)線x=-

p

2

，利用△MON的面積為

3

，求出拋物線的方程，

|PF|

|PA|

=

|x+1|

(x+1)2+y2

利用換元法，即可得出結(jié)論．

解答： 解：雙曲線

x2

a2

-

y2

3a2

=1（a＞0）的兩條漸近線方程為y=±

3

x，拋物線y²=2px的準(zhǔn)線x=-

p

2

，
∵△MON的面積為

3

，
∴

1

2

•

3

p•

p

2

=

3

，
∴p=2，
∴y²=4x，
設(shè)P（x，y），則y²=4x，
∵定點(diǎn)A（-1，0），F(xiàn)（1，0），
∴

|PF|

|PA|

=

|x+1|

(x+1)2+y2

設(shè)t=

1

x+1

，x≥0，0＜t≤1，
∴

|PF|

|PA|

=

1

-4t2+4t+1

，0＜t≤1，
當(dāng)t=

1

2

時(shí)，g（t）=-4t²+4t+1最大值為2，
∴

1

-4t2+4t+1

最小值為

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程，考查換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的性質(zhì)求解，屬于中檔題．