Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2a_n+2n．
（1）寫出數(shù)列的前3項(xiàng)a₁，a₂，a₃；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n+2n，分別取n=1，2，3，聯(lián)立解出即可；
（2）由S_n=2a_n+2n，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為a_n=2a_n-1-2．變形為a_n-2=2（a_n-1-2），l利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：（1）由S_n=2a_n+2n，分別取n=1，2，3，可得a₁=2a₁+2，a₁+a₂=2a₂+4，a₁+a₂+a₃=2a₃+6，解得a₁=-2，a₂=-6，a₃=-14；
（2）由S_n=2a_n+2n，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n+2n）-（2a_n-1+2n-2），化為a_n=2a_n-1-2．
變形為a_n-2=2（a_n-1-2），
∴數(shù)列{a_n-2}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為-4，公比為2．
∴${a}_{n}-2=-4×{2}^{n-1}$，
∴a_n=-2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．