Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

6

ax⁴（x∈R，a＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）記g（x）=f′（x），若對(duì)任意的x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，+∞）使得g（x₁）•g（x₂）=1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，然后解不等式，要注意數(shù)形結(jié)合，分類討論；
（2）實(shí)際上是兩個(gè)函數(shù)y=g（x）與函數(shù)y=

1

g(x)

值域間的關(guān)系的判斷，即y=g（x）的值域是y=

1

g(x)

值域的子集即可．

解答： 解：（1）f′(x)=-

2a

3

(x-

3

2a

)x2，
∵a＞0∴x＜

3

2a

⇒f′(x)＞0；x＞

3

2a

⇒f′（x）＜0．
所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，

3

2a

），減區(qū)間為（

3

2a

，+∞）；
（2）由題意g（x）=x2-

2

3

ax3∴g′(x)=-2ax(x-

1

a

)，
所以函數(shù)y=g（x）的減區(qū)間為（

1

a

，+∞）和（-∞，0），增區(qū)間為（0，

1

a

）．
又∵g(0)=g(

3

2a

)=0且x∈(0，

3

2a

)⇒g（x）＞0∴x∈(

3

2a

，+∞)⇒g（x）＜0，
設(shè)集合A={g（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={

1

g(x)

|x∈（1，+∞），g（x）≠0}，
對(duì)任意的x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，+∞）使得g（x₁）g（x₂）=1?A⊆B，
當(dāng)

3

2a

＞2即0＜a＜

3

4

時(shí)，若x1=

3

2a

時(shí)，g(

3

2a

)=0不存在x₂使得g（x₁）g（x₂）=1，
不符合題意，舍去．
當(dāng)1≤

3

2a

≤2時(shí)，即

3

4

≤a≤

3

2

時(shí)，
A=（-∞，g（2））⇒A⊆（-∞，0），因?yàn)間（1）≥0
∴g（x）在區(qū)間（1，+∞）上的取值包含（-∞，0），則（-∞，0）⊆B，∴A⊆B滿足題意，
當(dāng)

3

2a

＜1，即a＞

3

2

時(shí)，g（1）＜0且g（x）在（1，+∞）上遞減，B=（

1

g(1)

，0）
A=（-∞，g（2）），∴A?B不滿足題意，
綜上滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是

3

4

≤a≤

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題能夠把問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域間的包含關(guān)系是解題的關(guān)鍵，類型為：對(duì)其中一個(gè)自變量的任意的函數(shù)值，另一個(gè)變量總能存在至少一個(gè)與之對(duì)應(yīng)．要注意整理和記憶．