Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x²+y²-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A（2，4）．
（1）求過(guò)點(diǎn)A的圓M的切線方程；
（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BC=OA，求直線l的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得$\overrightarrow{TA}$+$\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{TQ}$，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將圓M化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心和半徑，直線AM的斜率和切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程即可得到所求切線的方程；
（2）由題意得OA=2$\sqrt{5}$，k_OA=2，設(shè)l：y=2x+b，則圓心M到直線l的距離：d=$\frac{|5+b|}{\sqrt{5}}$，由此能求出直線l的方程；
（3）$\overrightarrow{TA}$=$\overrightarrow{PQ}$，即|$\overrightarrow{TA}$|=$\sqrt{（t-2）^{2}+{4}^{2}}$，又|$\overrightarrow{PQ}$|≤10，得t∈[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]，對(duì)于任意t∈[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]．欲使$\overrightarrow{TA}$=$\overrightarrow{PQ}$，只需要作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離為$\sqrt{25-\frac{|\overrightarrow{TA}{|}^{2}}{4}}$，由此能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，圓M：（x-6）²+（y-7）²=25，圓心M（6，7），
則k_AM=$\frac{7-4}{6-2}$=$\frac{3}{4}$，所以切線方程y-4=-$\frac{4}{3}$（x-2），即4x+3y-20=0；…（4分）
（2）由題意得OA=2$\sqrt{5}$，k_OA=2，設(shè)l：y=2x+b，
則圓心M到直線l的距離d=$\frac{|12-7+b|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|5+b|}{\sqrt{5}}$，…（6分）
則|BC|=2$\sqrt{{5}^{2}-jxmc0sm^{2}}$=2$\sqrt{25-\frac{（5+b）^{2}}{5}}$，
又|BC|=2$\sqrt{5}$，即2$\sqrt{25-\frac{（5+b）^{2}}{5}}$=2$\sqrt{5}$，
解得b=5或b=-15，即l：y=2x+5或y=2x-15； …（8分）
（3）$\overrightarrow{TA}$+$\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{TQ}$，即$\overrightarrow{TA}$=$\overrightarrow{TQ}$-$\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{PQ}$，即|$\overrightarrow{TA}$|=|$\overrightarrow{PQ}$|，
|$\overrightarrow{TA}$|=$\sqrt{（t-2）^{2}+{4}^{2}}$，
又|$\overrightarrow{PQ}$|≤10，即$\sqrt{（t-2）^{2}+{4}^{2}}$≤10，解得t∈[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]．
對(duì)于任意t∈[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]，欲使$\overrightarrow{TA}$=$\overrightarrow{PQ}$，
此時(shí)|$\overrightarrow{TA}$|≤10，只需要作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離為$\sqrt{25-\frac{|\overrightarrow{TA}{|}^{2}}{4}}$．
必然與圓交于P、Q兩點(diǎn)，此時(shí)|$\overrightarrow{TA}$|=|$\overrightarrow{PQ}$|，即$\overrightarrow{TA}$=$\overrightarrow{PQ}$，
因此實(shí)數(shù)t的取值范圍為t∈[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．