Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{1+{x^2}}}$是定義在（-1，1）上的函數(shù)，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．
（Ⅰ）求a的值并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）證明函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．可求a的值，再由奇偶性的定義，可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）證法一：設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，作差判斷f（x₁）的f（x₂）大小，根據(jù)單調(diào)性的定義，可得：函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)f（x₁）＜f（x₂），
證法二：求導(dǎo)，由當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，可得：函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)

解答 解（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{1+{x^2}}}$滿足f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．
∴$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{5}{4}}$=$\frac{2}{5}$．
解得：a=1，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$的定義域R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
又由$f（-x）=\frac{-x}{{{x^2}+1}}=-f（x）$，
∴f（x）為奇函數(shù)…（3分）
（Ⅱ）證法一：設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
則x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
∴$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{（{x_1}-{x_2}）（1-{x_1}{x_2}）}}{（1+x_1^2）（1+x_2^2）}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)…（8分）
證法二：∵f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，
∴f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，
f′（x）＞0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)…（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，難度中檔．