Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，PA⊥面ABCD，點(diǎn)Q在棱PA上，且PA=4PQ=4，AB=2，CD=1，AD=$\sqrt{2}$，∠CDA=∠BAD=$\frac{π}{2}$，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)．
（1）求證：MQ∥面PCB；
（2）求截面MCN與底面ABCD所成的銳二面角的大小．

Answer 1

分析 向量法：對(duì)于（1）求證：MQ∥平面PCB，可求出線的方向向量與面的法向量，如果兩者的內(nèi)積為0則說(shuō)明線面平行
對(duì)于（2）求截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小，求出兩個(gè)平面的法向量，然后根據(jù)根據(jù)二面角的正弦與法向量的數(shù)量積的關(guān)系，求解；

解答 解：法一：向量法：
以A為原點(diǎn)，以AD，AB，AP分別為x，y，z建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖1，
由$AB=2，CD=1，AD=\sqrt{2}$，PA=4PQ=4，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)，
可得：$A（{0，0，0}），B（{0，2，0}），C（{\sqrt{2}，1，0}），D（{\sqrt{2}，0，0}），P（{0，0，4}），Q（{0，0，3}），M（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，2}），N（{0，1，2}）$，
∴$\overrightarrow{BC}=（{\sqrt{2}，-1，0}），\overrightarrow{PB}=（{0，2，-4}）$，$\overrightarrow{MQ}=（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，1}）$
設(shè)平面的PBC的法向量為$\overrightarrow{n_0}=（{x，y，z}）$，
則有：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_0}⊥\overrightarrow{BC}⇒（{x，y，z}）•（{\sqrt{2}，-1，0}）=0⇒\sqrt{2}x-y=0\\ \overrightarrow{n_0}⊥\overrightarrow{PB}⇒（{x，y，z}）•（{0，2，-4}）=0⇒2y-4z=0\end{array}\right.$
令z=1，則$x=\sqrt{2}，y=2⇒\overrightarrow{n_0}=（{\sqrt{2}，2，1}）$，（3分）
∴$\overrightarrow{MQ}•\overrightarrow{n_0}=（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，1}）•（{\sqrt{2}，2，1}）=0$，
又MQ?平面PCB，∴MQ∥平面PCB；
（2）設(shè)平面的MCN的法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，又$\overrightarrow{CM}=（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-1，2}），\overrightarrow{CN}=（{-\sqrt{2}，0，2}）$
則有：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n⊥\overrightarrow{CM}⇒（{x，y，z}）•（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-1，2}）=0⇒-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x-y+2z=0\\ \overrightarrow n⊥\overrightarrow{CN}⇒（{x，y，z}）•（{-\sqrt{2}，0，2}）=0⇒-\sqrt{2}x+2z=0\end{array}\right.$
令z=1，則$x=\sqrt{2}，y=1⇒\overrightarrow n=（{\sqrt{2}，1，1}）$，
又$\overrightarrow{AP}=（{0，0，4}）$為平面ABCD的法向量，
∴$cos\left?{\overrightarrow n，\overrightarrow{AP}}\right＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{AP}}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{AP}}|}}=\frac{4}{2×4}=\frac{1}{2}$，又截面MCN與底面ABCD所成二面角為銳二面角，
∴截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小為$\frac{π}{3}$，
法二：幾何法：
（1）取AP的中點(diǎn)E，連接ED，則ED∥CN，如圖2，
依題有Q為EP的中點(diǎn)，
所以MQ∥ED，所以MQ∥CN，
又MQ?平面PCB，CN?平面PCB，
∴MQ∥平面PCB
（2）易證：平面MEN∥底面ABCD，
所以截面MCN與平面MEN所成的二面角即為平面MCN與底面ABCD所成的二面角，
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，
所以PA⊥平面MEN，
過(guò)E做EF⊥MN，垂足為F，連接QF，
則由三垂線定理可知QF⊥MN，
由（1）可知M，C，N，Q四點(diǎn)共面所以∠QFE為截面MCN與平面MEN所成的二面角的平面角，
$在Rt△MEN中，ME=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，NE=1，MN=\frac{{\sqrt{6}}}{2}，故EF=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
所以：$tan∠QFE=\sqrt{3}$，
所以：$∠QFE=\frac{π}{3}$；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的證明與二面角的求法，是立體幾何中一道綜合性很強(qiáng)的題，解答本題有一定難度，使用傳統(tǒng)的幾何法和向量法都可以，體會(huì)向量法的思維易而運(yùn)算難與幾何法的思維難而運(yùn)算易的特征．