Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），且x∈[0，$\frac{π}{2}$]，若f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$-λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最小值為-$\frac{3}{2}$，則λ=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量的平方即為模的平方，結(jié)合二倍角公式，化簡f（x），可得f（x）=2cos²$\frac{x}{2}$-2λcos$\frac{x}{2}$-1，令t=cos$\frac{x}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤t≤1，即有y=2t²-2λt-1=2（t-$\frac{1}{2}$λ）²-1+$\frac{1}{2}$λ²，討論對稱軸和區(qū)間[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性，可得最小值，解方程可得所求值．

解答 解：$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cos$\frac{3}{2}$xcos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{3}{2}$xsin$\frac{x}{2}$=cos（$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2}$x）=cosx，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cos²$\frac{3}{2}$x+sin²$\frac{3}{2}$x+cos²$\frac{x}{2}$+sin²$\frac{x}{2}$+2cosx
=2+2cosx=2•2cos²$\frac{x}{2}$，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
即|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2cos$\frac{x}{2}$，
則f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$-λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=cosx-2λcos$\frac{x}{2}$
=2cos²$\frac{x}{2}$-2λcos$\frac{x}{2}$-1，
t=cos$\frac{x}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤t≤1，
即有y=2t²-2λt-1=2（t-$\frac{1}{2}$λ）²-1+$\frac{1}{2}$λ²，
當(dāng)$\frac{1}{2}$λ≥1即λ≥2時，函數(shù)y在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]遞減，可得最小值為1-2λ，
由1-2λ=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$\frac{5}{4}$＜2，不成立；
當(dāng)$\frac{1}{2}$λ≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$即λ≤$\sqrt{2}$時，函數(shù)y在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]遞增，可得最小值為-$\sqrt{2}$λ，
由-$\sqrt{2}$λ=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$＜$\sqrt{2}$，成立；
當(dāng)$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\frac{1}{2}$λ＜1，即$\sqrt{2}$＜λ＜2時，函數(shù)的最小值為-1+$\frac{1}{2}$λ²=-$\frac{3}{2}$，
可得λ∈∅．
綜上可得，λ=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，考查三角函數(shù)的恒等變換，運(yùn)用換元法和二次函數(shù)的最值的求法，以及分類討論思想方法，屬于中檔題．