Question

已知函數(shù)

（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；     （II）若關(guān)于的不等式對一切都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（I）的單調(diào)增區(qū)間為和；單調(diào)減區(qū)間為和．

（II）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

【解析】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，一定注意函數(shù)的定義域，尤其對于對數(shù)函數(shù)；

對于恒成立求參數(shù)問題，通常分離參數(shù)，然后只要求在最值處成立即可，關(guān)于的不等式對一切都成立，然后分析函數(shù)的最值時(shí)利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間。

解：（I），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又函數(shù)為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

∴的單調(diào)增區(qū)間為和；單調(diào)減區(qū)間為和．

（II）不等式對一切都成立，即對一切都成立

由（I）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，

當(dāng)，即時(shí)，在 上單調(diào)遞增，；

當(dāng)，即時(shí)，在 上單調(diào)遞減，；

當(dāng)，即時(shí)，在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，

 .下面比較的大小：

，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

綜上得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.