【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD,側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且與底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的菱形,M為PC的中點(diǎn).
(Ⅰ) 求證:PC⊥AD;
(Ⅱ) 在棱PB上是否存在一點(diǎn)Q,使得A,Q,M,D四點(diǎn)共面?若存在,指出點(diǎn)Q的位置并證明;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(Ⅲ) 求點(diǎn)D到平面PAM的距離.

【答案】Ⅰ)證法一:取AD中點(diǎn)O,連結(jié)OP,OC,AC,
依題意可知△PAD,△ACD均為正三角形,
所以O(shè)C⊥AD,OP⊥AD,又OC∩OP=O,OC平面POC,OP平面POC,
所以AD⊥平面POC,又PC平面POC,
所以PC⊥AD.
證法二:連結(jié)AC,依題意可知△PAD,△ACD均為正三角形,
又M為PC的中點(diǎn),所以AM⊥PC,DM⊥PC,
又AM∩DM=M,AM平面AMD,DM平面AMD,
所以PC⊥平面AMD,
又AD平面AMD,所以PC⊥AD.(Ⅱ)解:當(dāng)點(diǎn)Q為棱PB的中點(diǎn)時(shí),A,Q,M,D四點(diǎn)共面,
證明如下:
取棱PB的中點(diǎn)Q,連結(jié)QM,QA,又M為PC的中點(diǎn),所以QM∥BC,
在菱形ABCD中AD∥BC,所以QM∥AD,
所以A,Q,M,D四點(diǎn)共面.
(Ⅲ)解:點(diǎn)D到平面PAM的距離即點(diǎn)D到平面PAC的距離,
由(Ⅰ)可知PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,PO平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD,即PO為三棱錐P﹣ACD的體高.
在Rt△POC中, ,
在△PAC中,PA=AC=2, ,邊PC上的高AM= ,
所以△PAC的面積 ,
設(shè)點(diǎn)D到平面PAC的距離為h,
由VDPAC=VPACD
,
,
所以 ,
解得 ,
所以點(diǎn)D到平面PAM的距離為

【解析】(Ⅰ)法一:取AD中點(diǎn)O,連結(jié)OP,OC,AC,依題意可知△PAD,△ACD均為正三角形,從而AD⊥平面POC,由此能證明PC⊥AD.
法二:連結(jié)AC,依題意可知△PAD,△ACD均為正三角形,從而AM⊥PC,DM⊥PC,由此能證明PC⊥AD.(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)Q為棱PB的中點(diǎn)時(shí),A,Q,M,D四點(diǎn)共面.取棱PB的中點(diǎn)Q,連結(jié)QM,QA,由已知得QM∥BC,由此能證明A,Q,M,D四點(diǎn)共面.(Ⅲ)點(diǎn)D到平面PAM的距離即點(diǎn)D到平面PAC的距離,由已知得得PO為三棱錐P﹣ACD的體高,由VDPAC=VPACD , 能求出點(diǎn)D到平面PAM的距離.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)才能正確解答此題.

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轎車A

轎車B

轎車C

舒適型

100

150

z

標(biāo)準(zhǔn)型

300

450

600

按類用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.
(1)求z的值;
(2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率;
(3)用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把這8輛轎車的得分看成一個(gè)總體,從中任取一個(gè)數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過0.5的概率.

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