【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)棱底面, , 為的中點(diǎn), ,四棱錐的體積為.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角的正弦值.
【答案】(1)見解析;(2)直線與平面所成的正弦值為;(3)二面角的正弦值為.
【解析】試題分析:(1)連接,設(shè)與相交于點(diǎn),連接,設(shè)法證明,即可證明平面;
(2)作,垂足為,則平面,設(shè),在中, ,利用四棱錐 的體積,可求得,可證 平面,即平面.則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以, , 所在直線為軸, 軸和軸,建立空間直角坐標(biāo)系.求出平面的一個(gè)法向量為,又,從而可求直線A1C1與平面BDC1所成角的正弦值;
(3)由(2)可求得平面的一個(gè)法向量為,平面的一個(gè)法向量為,則可求求二面角的正弦值
試題解析:(1)證明:連接,設(shè)與相交于點(diǎn),連接,
∵四邊形是平行四邊形,∴點(diǎn)為的中點(diǎn).
∵為的中點(diǎn),∴為的中位線,
∴
∵平面, 平面,
∴平面
(2)解:依題意知, ,
∵平面, 平面,
∴平面平面,且平面平面.
作,垂足為,則平面,
設(shè),在中, ,
∴四棱錐體積,即.
∵, , , 平面, 平面,
∴平面,即平面.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以, , 所在直線為軸, 軸和軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
則, , , , .
∴, .
設(shè)平面的法向量為,
由及,得
令,得, .故平面的一個(gè)法向量為,
又
.
∴直線與平面所成的正弦值為.
(Ⅲ)平面的一個(gè)法向量為,平面的一個(gè)法向量為
∴
∴二面角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)若函數(shù)是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍;
(2)求證:當(dāng)時(shí),都有.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn , 且Sn+ an=1(n∈N+)
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn= (1﹣Sn+1)(n∈N+),令Tn= ,求Tn .
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD,側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且與底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的菱形,M為PC的中點(diǎn).
(Ⅰ) 求證:PC⊥AD;
(Ⅱ) 在棱PB上是否存在一點(diǎn)Q,使得A,Q,M,D四點(diǎn)共面?若存在,指出點(diǎn)Q的位置并證明;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(Ⅲ) 求點(diǎn)D到平面PAM的距離.
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【題目】中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓,下頂點(diǎn),且離心率.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于, 兩點(diǎn).在軸上是否存在定點(diǎn),使得恒成立?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知圓O的直徑AB長(zhǎng)度為4,點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn),且 ,點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn),且 .點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D,PD=BD.
(1)求證:CD⊥平面PAB;
(2)求點(diǎn)D到平面PBC的距離.
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【題目】已知c>0,且c≠1,設(shè)p:函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減;q:函數(shù)f(x)=x2﹣2cx+1在( ,+∞)上為增函數(shù),若“p且q”為假,“p或q”為真,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若不等式對(duì)恒成立,則的最小值等于____________.
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