Question

拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，A，B是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠AFB=

2π

3

．設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M在l上的投影為N，則

|MN|

|AB|

的最大值是（　�。�

• A、

  3

• B、

  3

  2

• C、

  3

  3

• D、

  3

  4

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)|AF|=a、|BF|=b，由拋物線(xiàn)定義結(jié)合梯形的中位線(xiàn)定理，得2|MN|=a+b．再由余弦定理得|AB|²=a²+b²+ab，結(jié)合基本不等式求得|AB|的范圍，從而可得

|MN|

|AB|

的最大值．

解答： 解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，A、B在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影點(diǎn)分別為Q、P，
連接AQ、BQ　　
由拋物線(xiàn)定義，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中根據(jù)中位線(xiàn)定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得|AB|²=a²+b²-2abcos

2π

3

=a²+b²+ab，
配方得|AB|²=（a+b）²-ab，
又∵ab≤（

a+b

2

） ²，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-（

a+b

2

） ²=

3

4

（a+b）²
得到|AB|≥

3

2

（a+b）．
所以

|MN|

|AB|

≤

a+b 2

3 2 (a+b)

=

3

3

，即

|MN|

|AB|

的最大值為

3

3

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線(xiàn)的弦AB對(duì)焦點(diǎn)F所張的角為直角，求AB中點(diǎn)M到準(zhǔn)線(xiàn)的距離與AB比值的取值范圍，著重考查了拋物線(xiàn)的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、梯形的中位線(xiàn)定理和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．