Question

5．已知函數f（x）=x³-3ax²+3a²x-a³（a∈R）的圖象關于點（1，0）成中心對稱．
（1）確定f（x）的解析式；
（2）求函數g（x）=f（x）-2x²在[-1，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的圖象關于點（1，0）成中心對稱，則f（1+x）=-f（1-x）⇒6（1-a）x²+12（a-1）x+（2-a）³-a³=0對x∈R恒成立，即可求a．
（2）利用導數求函數單調區(qū)間，再求最值即可．

解答 解：（1）法1：化簡f（x）得f（x）=（x-a）³　（1分）
由f（x）的圖象關于點（1，0）成中心對稱，則f（1+x）=-f（1-x）…（2分）
即f（x）=-f（2-x）…，代入f（x）得（x-a）³+（2-x-a）³=0，整理得：
6（1-a）x²+12（a-1）x+（2-a）³-a³=0對x∈R恒成立，則
$\left\{\begin{array}{l}{6-6a=0}\\{12a-12=0}\\{（2-a）3-a3=0}\end{array}\right.∴a=1，\\;f（x）=（x-1）^{3}$　（6分）
法2：f（x）=x³是奇函數，f（x）=（x-a）³
是將f（x）的圖象向左（a＜0）或向右（a＞0）平移|a|個單位，
由題意平移后的圖象關于點（1，0）成中心對稱，故a=1．
（2）g（x）=f（x）-2x²=（x-1）³-2x²，
∵g′（x）=3x²-10x+3=0，∴${x}_{1}=\frac{1}{3}，{x}_{2}=3$，又x∈[-1，1]，
則x∈[-1，$\frac{1}{3}$]時g（x）遞增，x∈[$\frac{1}{3}，1$]時g（x）遞減，故g（x）_max=g（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{14}{27}$，
g（-1）=-10，g（1）=-2，∴g（x）_min=-10．（10分）
綜上，g（x）_max=$\frac{14}{27}$，g（x）_min=-10．（12分）

點評 本題考查了函數的對稱性及最值，關鍵是把對稱的定性描述轉化為定量運算，屬于基礎題．