Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為正整數(shù)，公差為正偶數(shù)，且a₅≥10，S₁₅＜255．
（1）求通項(xiàng)a_n；
（2）若數(shù)列a₁，a₃，，，，…，…，成等比數(shù)列，試找出所有的n∈N^*，使為正整數(shù)，說(shuō)明你的理由．

Answer 1

解：（1）因?yàn)?a₅≥10，S₁₅＜255，設(shè){a_n}的公差為d，則有 ． …（2分）
化簡(jiǎn)可得 ，∴2d＜5．
再由{a_n}的首項(xiàng)為正整數(shù)，公差為正偶數(shù)，∴d=2，…（3分）
∴a₁=2…（4分）
故．…（5分）
（2）由（1）可知a₁=2，a₃=6，
∴公比，…（6分）
∴，…（8分）
∴2•3ⁿ⁺¹=2b_n，，故=．…（9分）
此時(shí)當(dāng)n=1，3，5時(shí)符合要求；當(dāng)n=2，4時(shí)不符合要求．
由此可猜想：當(dāng)且僅當(dāng)n=2k-1，k∈N^*時(shí)，C_n為正整數(shù)．證明如下：…（10分）
逆用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式有：．…（11分）
當(dāng)n=2k，k∈N^*時(shí)，上式括號(hào)內(nèi)為奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和，為奇數(shù)，此時(shí)…（12分）
當(dāng)n=2k-1，k∈N^*時(shí)，上式括號(hào)內(nèi)為偶數(shù)個(gè)奇數(shù)之和，為偶數(shù)，此時(shí)
故滿足要求的所有n為n=2k-1，k∈N^*．…（13分）
分析：（1）由條件可得2d＜5，再由{a_n}的首項(xiàng)為正整數(shù)，公差為正偶數(shù)，故有d=2，結(jié)合條件得a₁=2，由此求得通項(xiàng)a_n ．
（2）由（1）可知a₁=2，a₃=6，由此求出公比的值，求得 ，故=，當(dāng)n=
2k-1，k∈N^*時(shí)，上式括號(hào)內(nèi)為偶數(shù)個(gè)奇數(shù)之和，為偶數(shù)，此時(shí)．當(dāng)n=2k，k∈N^*時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不符合條件．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．