Question

如右圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
①DA₁與BC₁平行；
②DD₁與BC₁垂直；
③DA₁與BB₁異面；
④A₁B₁與BC₁垂直．
以上四個命題中，正確命題的序號是（ ）

A．③④
B．②③④
C．①②④
D．①④

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)空間直線的位置關(guān)系，結(jié)合異面直線的判定方法，可得①不正確且③是真命題；根據(jù)異面直線所成角的定義與求法，結(jié)合正方體的性質(zhì)得到DD₁與BC₁所成角是45°，故②不正確；根據(jù)正方體的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)，可得④是真命題．由此即可得到本題的答案．
解答：解：對于①，因為A₁B₁∥CD，所以四邊形A₁B₁CD是平行四邊形
∴B₁C∥DA₁，可得B₁C與BC₁所成的角就等于DA₁與BC₁所成的角
∵正方形BB₁C₁C中，B₁C與BC₁相交且垂直
∴DA₁與BC₁是互相垂直的異面直線，故①不正確；
對于②，因為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁∥BB₁，
而正方形BB₁C₁C中，∠B₁BC₁=45°
∴DD₁與BC₁所成角是45°，并不垂直，故②不正確；
對于③，由于正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面AA₁D₁D∥平面BB₁C₁C
可得DA₁與BB₁分別在兩個平行平面中，它們不可能相交
又∵B₁C∥DA₁且B₁C與BB₁相交
∴DA₁與BB₁不平行，必定是異面直線，故③正確；
對于④，因為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線A₁B₁⊥平面BB₁C₁C
結(jié)合直線BC₁?平面BB₁C₁C，可得A₁B₁⊥BC₁，可得④正確
由此可得正確命題的序號為③④
故選：A
點評：本題給出正方體模型，叫我們判定關(guān)于異面直線所成角和空間直線位置關(guān)系的幾個命題的真假．著重考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)和異面直線所成角的定義與求法等知識，屬于中檔題．