(本小題滿分14分)
一個幾何體的三視圖如右圖所示,其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為6的兩個全等的等腰直角三角形.
(Ⅰ)請畫出該幾何體的直觀圖,并求出它的體積;
(Ⅱ)用多少個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為6的正方體ABCD—A1B1C1D1? 如何組拼?試證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下,設(shè)正方體ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn)為E, 求平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值。
(Ⅰ) ;
(Ⅱ)依題意,正方體的體積是原四棱錐體積的3倍,故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體, 證明:見解析;
(Ⅲ)平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為.
【解析】本試題主要是考查了三視圖和空間幾何體的體積公式的運(yùn)用,以及求解二面角的平面角的綜合運(yùn)用。
(1)由于三視圖風(fēng)影的幾何體是四棱錐,一條側(cè)棱垂直底面,畫出圖形,根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù),求出四棱錐的體積.
(2)依題意,正方體的體積是原四棱錐體積的3倍,
故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體,
(3)設(shè)B1E,BC的延長線交于點(diǎn)G,
連結(jié)GA,在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG,垂足為H,
連結(jié)HB1,則B1H⊥AG,故∠B1HB為平面AB1E與
平面ABC所成二面角或其補(bǔ)角的平面角,然后借助于三角形得到求解。
解:(Ⅰ)該幾何體的直觀圖如圖1所示,它是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面ABCD是邊長為6的正方形,高為CC1=6,故所求體積是
------------------------4分
(Ⅱ)依題意,正方體的體積是原四棱錐體積的3倍,
故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體,
其拼法如圖2所示. ------------------------6分
證明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D為全等的
正方形,于是
故所拼圖形成立.---8分
(Ⅲ)方法一:設(shè)B1E,BC的延長線交于點(diǎn)G,
連結(jié)GA,在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG,垂足為H,
連結(jié)HB1,則B1H⊥AG,故∠B1HB為平面AB1E與
平面ABC所成二面角或其補(bǔ)角的平面角. --------10分
在Rt△ABG中,,則
,,
,故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為.---14分
方法二:以C為原點(diǎn),CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系(如圖3),
∵正方體棱長為6,則E(0,0,3),B1(0,6,6),A(6,6,0).
設(shè)向量n=(x,y,z),滿足n⊥,n⊥,
于是,解得. --------------------12分
取z=2,得n=(2,-1,2). 又(0,0,6),故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為. -------------14分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
3 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分14分)設(shè)橢圓C1的方程為(a>b>0),曲線C2的方程為y=,且曲線C1與C2在第一象限內(nèi)只有一個公共點(diǎn)P。(1)試用a表示點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)設(shè)A、B是橢圓C1的兩個焦點(diǎn),當(dāng)a變化時,求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域;(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個。設(shè)g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積,試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達(dá)式。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年江西省撫州市教研室高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)理卷(A) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知=2,點(diǎn)()在函數(shù)的圖像上,其中=.
(1)證明:數(shù)列}是等比數(shù)列;
(2)設(shè),求及數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;
(3)記,求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和,并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆山東省威海市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
某網(wǎng)店對一應(yīng)季商品過去20天的銷售價格及銷售量進(jìn)行了監(jiān)測統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),第天()的銷售價格(單位:元)為,第天的銷售量為,已知該商品成本為每件25元.
(Ⅰ)寫出銷售額關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)求該商品第7天的利潤;
(Ⅲ)該商品第幾天的利潤最大?并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年廣東省高三下學(xué)期第一次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)已知的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行.
⑴ 求,滿足的關(guān)系式;
⑵ 若上恒成立,求的取值范圍;
⑶ 證明:()
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