Question

13．已知△ABC的三角為A，B，C對(duì)應(yīng)的邊為A，B，C滿足2acosC=2b+c，
（1）求A
（2）若a=2$\sqrt{3}$，b+c=4，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式得到關(guān)系式，聯(lián)立后根據(jù)sinC不為0求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，將a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，由sinA與bc的值，利用三角形的面積公式求出即可．

解答 解：（1）∵2acosC=2b+c，由正弦定理可知2sinAcosC=2sinB+sinC，①
三角形中有：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，②
聯(lián)立①②可化簡(jiǎn)得：2cosAsinC+sinC=0，
在三角形中sinC≠0，得cosA=-$\frac{1}{2}$，
又0＜A＜π，
∴A=$\frac{2π}{3}$；
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA，得（2$\sqrt{3}$）²=（b+c）²-2bc-2bccos$\frac{2π}{3}$，即12=16-2bc+bc，
解得：bc=4，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．