已知曲線C的方程為x2+ay2=1（a∈R）．
（1）討論曲線C所表示的軌跡形狀；
（2）若a≠-1時，直線y=x-1與曲線C相交于兩點M，N，且|MN|=，求曲線C的方程．
【答案】分析：（1）對a進行討論，分a＜0，a=0，0＜a＜1，a=1，a＞1時，可得曲線C所表示的軌跡形狀；
（2）直線與曲線聯(lián)立，確定直線l與曲線C必有兩個交點，利用韋達定理及|MN|=，即可求曲線C的方程．
解答：解：（1）當a＜0時，曲線C的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線；…（1分）
當a=0時，曲線C的軌跡是兩條平行的直線x=1和x=-1；…（1分）
當0＜a＜1時，曲線C的軌跡是焦點在y軸上的橢圓；  …（1分）
當a=1時，曲線C的軌跡是圓 x2+y2=1；          …（1分）
當a＞1時，曲線C的軌跡是焦點在x軸上的橢圓．      …（1分）
（2）由，得（a+1）x2-2ax+a-1=0…①…（2分）
因為a≠-1，所以方程①為一元二次方程，△=4a2-4（a+1）（a-1）=4＞0，所以直線l與曲線C必有兩個交點．       …（1分）
設M（x1，y1），N（x2，y2），則x1，x2為方程①的兩根，所以x1+x2=，x1x2=，…（1分）
所以|MN|=|x1-x2|=×=，…（2分）
所以a2+2a-3=0，解得a=1或a=-3．   …（2分）
因此曲線C的方程為x2+y2=1或x2-3y2=1．   …（1分）
點評：本題考查分類討論的數(shù)學思想，考查直線與曲線的位置關系，考查韋達定理的運用，正確分類是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C的方程為
x=8t2
y=8t
(t為參數(shù)），過點F（2，0）作一條傾斜角為
π
4
的直線交曲線C于A、B兩點，則AB的長度為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C參數(shù)方程為
x=2cosθ
y=sinθ
，θ∈[0，2π)，極點O與原點重合，極軸與x軸的正半軸重合．圓T的極坐標方程為ρ2+4ρcosθ+4=r2，曲線C與圓T交于點M與點N．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程與圓T直角坐標方程；
（Ⅱ）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時圓T的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•嘉定區(qū)一模）已知曲線C的方程為x2+ay2=1（a∈R）．
（1）討論曲線C所表示的軌跡形狀；
（2）若a≠-1時，直線y=x-1與曲線C相交于兩點M，N，且|MN|=
2
，求曲線C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C的方程為kx2+（4-k）y2=k+1（k∈R）．
（1）若曲線C是橢圓，求k的取值范圍；
（2）若曲線C是雙曲線，且有一條漸近線的傾斜角是60°，求此雙曲線的方程；
（3）滿足（2）的雙曲線上是否存在兩點P、Q關于直線l：y=x-1對稱，若存在，求出過P、Q的直線方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：海門市模擬 題型：填空題

已知曲線C的方程為
x=8t2
y=8t
(t為參數(shù)），過點F（2，0）作一條傾斜角為
π
4
的直線交曲線C于A、B兩點，則AB的長度為______．

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