Question

13．在直角坐標系xOy，橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，其中F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，點M為C₁與C₂在第一象限的交點，且|MF₂|=$\frac{5}{3}$
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）若過點D（4，0）的直線l與C₁交于不同的兩點A，B，且A在DB之間，試求△AOD與△BOD面積比值的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出M的坐標，代入橢圓方程列方程組得出a，b；
（2）設l方程：x=my+4，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關系得出A，B縱坐標的關系，設λ=$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△BOD}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$，則y₁=y₂λ，代入根與系數(shù)的關系得出m²關于λ的函數(shù)，根據(jù)m²的范圍即可得出λ的范圍．

解答 解：（1）依題意知F₂（1，0），∴F₁（-1，0），
設M（x₁，y₁），則|MF₂|=x₁+1=$\frac{5}{3}$，即x₁=$\frac{2}{3}$，
∴y₁=2$\sqrt{{x}_{1}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，即M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}=1}\\{\frac{（\frac{2}{3}）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=3，???
故橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）依題意知直線l的斜率存在且不為0，設l的方程為x=my+4，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=my+4}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3m²+4）y²+24my+36=0，
∴△=576m²-144（3m²+4）＞0，解得m²＞4．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=-$\frac{24m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{36}{3{m}^{2}+4}$．
設λ=$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△BOD}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$，則y₁=y₂λ，且0＜λ＜1．
把y₁=y₂λ代入y₁+y₂=-$\frac{24m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{36}{3{m}^{2}+4}$可得：
$\left\{\begin{array}{l}{（λ+1）{y}_{2}=-\frac{24m}{3{m}^{2}+4}}\\{{λ{y}_{2}}^{2}=\frac{36}{3{m}^{2}+4}}\end{array}\right.$，消去y₂得$\frac{（λ+1）^{2}}{λ}$=$\frac{16{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}$，
即m²=$\frac{4（λ+1）^{2}}{10λ-3{λ}^{2}-3}$，
∴$\frac{4（λ+1）^{2}}{10λ-3{λ}^{2}-3}$＞4，解得$\frac{1}{3}＜λ＜1$或1＜λ＜3（舍）．
∴△AOD與△BOD面積比值的取值范圍是（$\frac{1}{3}$，1）．

點評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．