Question

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c．
（1）若c=2，C=60°，且△ABC的面積為2

3

，求△ABC的周長；
（2）若sinC+sin（B-A）=sin2A，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）利用三角形面積公式列出關系式，將sinC的值代入求出ab的值，再利用余弦定理列出關系式，將c與cosC的值代入求出a+b的值，即可確定出周長；
（2）將sinC=sin（A+B）代入已知等式，利用和差化積公式變形，根據cosA=0與cosA≠0，即可確定出三角形形狀．

解答：解：（1）∵C=60°，S_△ABC=

1

2

absinC=2

3

，
∴ab=8，
∵c=2，cosC=

1

2

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，
即4=（a+b）²-24，
解得：a+b=2

7

，
則△ABC周長為2

7

+2；
（2）將sinC=sin（A+B）代入已知等式得：sin（A+B）+sin（B-A）=sin2A，
整理得：2sinBcosA=2sinAcosA，
當cosA=0，即A為直角時，滿足題意，此時△ABC為直角三角形；
當cosA≠0時，得到sinA=sinB，即A=B，此時△ABC為等腰三角形，
則△ABC為等腰三角形或直角三角形．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，和差化積公式，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．