Question

如圖，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB，點E、M分別為A₁B、C₁C的中點，過點A₁，B，M三點的平面A₁BMN交C₁D₁于點N．

(1)求證：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；

(2)求二面角B—A₁N—B₁的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

法一(1)證明：取A1B1的中點F，連EF，C1F ∵E為A1B中點 ∴EF∥BB1 又∵M為CC1中點　∴EF∥C1M ∴四邊形EFC1M為平行四邊形　∴EM∥FC1 而EM平面A1B1C1D1．FC1平面A1B1C1D1． ∴EM∥平面A1B1C1D1 (2)由(1)EM∥平面A1B1C1D1　EM平面A1BMN 平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N　∴A1N//EM//FC1 ∴N為C1D1中點 過B1作B1H⊥A1N于H，連BH，根據(jù)三垂線定理　BH⊥A1N ∠BHB1即為二面角B—A1N—B1的平面角 設AA1=a，則AB=2a， ∵A1B1C1D1為正方形 ∴A1H=　　又∵△A1B1H∽△NA1D1 ∴B1H= 在Rt△BB1H中，tan∠BHB1= 即二面角B—A1N—B1的正切值為 法二(1)建立如圖所示空間直角坐標系，設AB=2a，AA1=a(a＞0)，則 A1(2a，0，a)，B(2a， 2a ， 0)， C(0，2a，0)，C1(0，2a，a) ∵E為A1B的中點，M為CC1的中點 ∴E(2a，a，)，M(0，2a，) ∴EM// A1B1C1D1 (2)設平面A1BM的法向量為=(x，y，z) 又=(0，2a，－a)　由，得 而平面A1B1C1D1的法向量為.設二面角為，則 又：二面角為銳二面角　， 從而