Question

（2012•廣州一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線y=x與橢圓C在第一象限相交于點(diǎn)A，試探究在橢圓C上存在多少個(gè)點(diǎn)B，使△OAB為等腰三角形．（簡(jiǎn)要說明理由，不必求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3，確定a，c，利用b²=a²-c²，求出b²，從而可以求橢圓C的方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，確定A的坐標(biāo)，進(jìn)而分類討論，探究橢圓C上存在的點(diǎn)B，使△OAB為等腰三角形．

解答：解：（1）由于短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3，則a=3…（1分），
因?yàn)?span id="imec6q8" class="MathJye">e=

c

a

=

6

3

…（2分），所以c=

6

…（3分），
所以b²=a²-c²=9-6=3…（4分），
所以橢圓C的方程為：

x2

9

+

y2

3

=1…（5分）
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立

x2 9 + y2 3 =1 y=x

（x＞0），解得x=y=

3

2

，即A(

3

2

，

3

2

)…（6分）
以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰三角形△OAB有兩個(gè)，此時(shí)B為A關(guān)于x軸或y軸的對(duì)稱點(diǎn)…（8分），
以A為頂點(diǎn)的等腰三角形△OAB有兩個(gè)（9分），此時(shí)B為以A為圓心、AO為半徑的圓弧與橢圓C的交點(diǎn)…（10分），
以AO為底邊的等腰三角形△OAB有兩個(gè)（11分），此時(shí)B為AO的垂直平分線與橢圓C的交點(diǎn)…（12分）．
因?yàn)橹本�y=x傾斜角為

π

4

，所以以上等腰△OAB不可能是等邊三角形…（13分），
即以上6個(gè)三角形互不相同，存在6個(gè)點(diǎn)B，使△OAB為等腰三角形…（14分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的探究能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．