Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若k≠0，試討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；

（2）已知f（x）在（﹣∞，0]上單調(diào)遞減，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（﹣∞，0]∪[1，+∞）．

【解析】

（1）對k分和兩種情況結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義討論；（2）設(shè)t＝ex，x∈（﹣∞，0]，則有0＜t≤1，對k分和，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析得解.

（1）根據(jù)題意，函數(shù)，

則f（﹣x）＝ke﹣x+ex﹣1，

當k＝1時，有f（x）＝f（﹣x），函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，

當k≠1時，f（x）≠f（﹣x）且f（﹣x）≠﹣f（x），函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)；

（2）根據(jù)題意，設(shè)t＝ex，x∈（﹣∞，0]，則有0＜t≤1，則y＝kt1，

又由t＝ex為增函數(shù)，對于y＝kt1，

當k≤0時，y＝kt1在（0，1]為減函數(shù)，函數(shù)f（x）在R上遞減，符合題意，

當k＞0時，函數(shù)f（x）在（0，）上為減函數(shù)，在（，+∞）上為增函數(shù)，

此時，若已知f（x）在（﹣∞，0]上單調(diào)遞減，必有1，解可得k≥1，

綜合可得：k的取值范圍為（﹣∞，0]∪[1，+∞）．