Question

【題目】如圖,五面體A﹣BCC1B1中,AB1＝4.底面ABC 是正三角形,AB=2.四邊形BCC1B1是矩形,二面角A﹣BC﹣C1為直二面角.

（1）D在AC上運(yùn)動(dòng),當(dāng)D在何處時(shí),有AB1//平面BDC1,并且說明理由；

（2）當(dāng)AB1//平面BDC1時(shí),求二面角C﹣BC1﹣D余弦值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)D為AC中點(diǎn)時(shí),有AB1//平面BDC1,理由見解析；（2）.

【解析】

(1)根據(jù)線面平行以及中位線的性質(zhì)易得當(dāng)D為AC中點(diǎn)時(shí),有AB1//平面BDC1,再連接B1C交BC1于O,連接DO,進(jìn)而證明DO//AB1即可.

(2)以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,再分別求得面與面的法向量,繼而求得二面角的余弦值即可.

(1)當(dāng)D為AC中點(diǎn)時(shí),有AB1//平面BDC1,

證明：連接B1C交BC1于O,連接DO

∵四邊形BCC1B1是矩形

∴O為B1C中點(diǎn)又D為AC中點(diǎn),從而DO//AB1,

∵AB1平面BDC1,DO平面BDC1

∴AB1//平面BDC1

(2)建立空間直角坐標(biāo)系B﹣xyz如圖所示,則B（0,0,0）,A（,1,0）,C（0,2,0）,D（,,0）,C1（0,2,2）,

所以（,,0）,（0,2,2）.

設(shè)為平面BDC1的法向量,則有,即

令,可得平面BDC1的一個(gè)法向量為（3,,1）,

而平面BCC1的一個(gè)法向量為,

所以cos,,故二面角C﹣BC1﹣D的余弦值為.