Question

14．已知函數(shù)f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1，x∈R．
（1）若函數(shù)h（x）=f（x+t）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{π}{6}$，0）對(duì)稱，且t∈（0，$\frac{π}{2}$），求t的值；
（2）若銳角△ABC中，角A滿足h（A）=1，求（$\sqrt{3}$-1）sinB+$\sqrt{2}$sinC取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和差的正弦公式、二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），可得函數(shù)h（x）=2sin（2x+2t-$\frac{π}{3}$），再由 h（-$\frac{π}{6}$）=0 可得2t-$\frac{2π}{3}$=0，由此解得t的值．
（2）由h（A）=2sin（2A+$\frac{π}{3}$）=1，可解得A，由A的度數(shù)得到B+C的度數(shù)，用B表示出C，代入（$\sqrt{3}$-1）sinB+$\sqrt{2}$sinC中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域確定出范圍即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1=2•$\frac{1-cos（\frac{π}{2}+2x）}{2}$-$\sqrt{3}$cos2x-1=1+sin2x-$\sqrt{3}$cos2x-1=2（$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$ ），
∴函數(shù)h（x）=f（x+t）=2sin（2x+2t-$\frac{π}{3}$），且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{π}{6}$，0）對(duì)稱，且t∈（0，$\frac{π}{2}$），即2t∈（0，π），
∴h（-$\frac{π}{6}$）=0，即 2sin（2t-$\frac{2π}{3}$）=0，
∴2t-$\frac{2π}{3}$=0，解得t=$\frac{π}{3}$．
（2）∵由已知可得：A∈（0，$\frac{π}{2}$），可得2A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
又∵由（1）可得：h（x）=f（x+t）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴h（A）=2sin（2A+$\frac{π}{3}$）=1，可解得：2A+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，可得：A=$\frac{π}{4}$，C=$\frac{3π}{4}$-B，
∴（$\sqrt{3}$-1）sinB+$\sqrt{2}$sinC=（$\sqrt{3}$-1）sinB+$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$-B）=（$\sqrt{3}$-1）sinB+cosB+sinB=2sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵0＜B＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1，即1＜2sin（B+$\frac{π}{6}$）≤2，
則sinB+sinC的范圍為（1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和差的正弦公式、二倍角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的對(duì)稱性，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．