Question

19．（1）已知橢圓的長軸長為10，離心率為$\frac{4}{5}$，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)（3$\sqrt{2}$，2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的長軸長為10，離心率為$\frac{4}{5}$，求出幾何量，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)（3$\sqrt{2}$，2）代入$\frac{{x}^{2}}{a^2}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），可得$\frac{18}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{^{2}}$=1，利用a²+b²=20，求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）∵橢圓的長軸長為10，離心率為$\frac{4}{5}$，
∴2a=10，$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$，
∴a=b，b=3，c=4，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1或$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{25}$=1；
（2）由題意雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2$\sqrt{5}$，0），c=±2$\sqrt{5}$，
∴點(diǎn)（3$\sqrt{2}$，2）代入$\frac{{x}^{2}}{a^2}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），可得$\frac{18}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{^{2}}$=1，
∵a²+b²=20，
∴a²=12，b²=8，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{12}-\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

點(diǎn)評 本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．