Question

某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年投入固定成本0.5萬(wàn)元，此外，每生產(chǎn)1件這種產(chǎn)品還需要增加投入25元，經(jīng)測(cè)算，市場(chǎng)對(duì)該產(chǎn)品的年需求量為500件，且當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t（單位：百件）時(shí)，銷售所得的收入約為5t-

1

2

t2（萬(wàn)元）．
（1）若該公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x（單位：百件）．試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)y表示為年產(chǎn)量x的函數(shù)；
（2）當(dāng)該公司的年產(chǎn)量x多大時(shí)，當(dāng)年所得利潤(rùn)y最大？

Answer 1

（1）由題意得：
y=

(5x- 1 2 x2)-0.5-0.25x，0＜x≤5 (5×5- 1 2 ×52)-0.5-0.25x，x＞5

=

- 1 2 x2+ 19 4 x- 1 2 ，0＜x≤5 - 1 4 x+12，x＞5

（6分）
（2）當(dāng)0＜x≤5時(shí)，函數(shù)對(duì)稱軸為x=

19

4

=4.75∈(0，5)，
故x=4.75時(shí)y最大值為

345

32

．                                 （3分）
當(dāng)x＞5時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故y＜-

5

4

+12=

43

4

＜

345

32

，（3分）
所以當(dāng)年產(chǎn)量為475件時(shí)所得利潤(rùn)最大．                     （2分）