Question

【題目】已知函數(shù)，下列說法正確的是__________.的值域是；當(dāng)時，方程有兩個不等實根；若函數(shù)有三個零點時，則；經(jīng)過有三條直線與相切.

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①：結(jié)合導(dǎo)數(shù)，用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，求得的值域；②利用導(dǎo)數(shù)，證得方程有兩個不等實根；③根據(jù)為偶函數(shù)，故可先考慮的情況，再由對稱性得到的情況.當(dāng)時，首先確定是函數(shù)的零點，令，分離常數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.再根據(jù)對稱性，求得的取值范圍.④利用導(dǎo)數(shù)，求得過的切線的條數(shù).

①函數(shù)的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對稱.當(dāng)時，，，.令解得，所以在上遞減，在上遞增，，所以，所以在上單調(diào)遞增，從而.由于為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，且.所以的值域是.故①正確.

②顯然，是方程的根.方程可化為.當(dāng)時，即.根據(jù)①的分析，結(jié)合圖像可知，當(dāng)時與的圖像沒有公共點.故只需考慮的情況.由得，即.構(gòu)造函數(shù)，，，令，解得.所以在上遞減，在上遞增，且，所以存在，使得.故在上遞減，在上遞增.，所以存在，使.綜上所述，當(dāng)時，方程有兩個不等實根成立，故②正確.

③為偶函數(shù)，故可先考慮的情況.當(dāng)時，函數(shù)為，故方程有三個不相等的實數(shù)根.首先是方程的根.

先證：令，，，令解得.所以在上遞減，在上遞增.，當(dāng)，.若，即，則在區(qū)間上先減后增，在區(qū)間上至多只有兩個零點，不符合題意.故.

故下證：當(dāng)時，由得有兩個不同的實數(shù)根.構(gòu)造函數(shù)，.令，，,所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，.所以由可知在上遞減，在上遞增，所以在處取得極小值也即是最小值，所以.

綜上所述，的取值范圍是.由于為偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性可知的取值范圍是.故③正確.

④當(dāng)時，設(shè)經(jīng)過點的切線的切點為，，，故切線方程為，將代入上式得，化簡得.令，，,所以在上單調(diào)遞增.所以方程解得或.所以當(dāng)時，有兩條切線.根據(jù)為偶函數(shù)，所以當(dāng)時，也有兩條切線方程. 所以經(jīng)過有四條直線與相切，④錯誤.

特別的，當(dāng)時，，，即當(dāng)時，在處的切線的斜率為.當(dāng)時，，即當(dāng)時，在處的切線的斜率為.

故答案為：①②③