Question

如圖，已知拋物線C₁的方程是y=ax²(a＞0)，圓C₂的方程是x²+(y+1)²=5，直線l：y=2x+m(m＜0)是C₁，C₂的公切線，F(xiàn)是C₁的焦點，
(1)求m與a的值；
(2)設(shè)A是拋物線C₁上的一動點，以A為切點作C₁的切線交y軸于點B，若，則點M在一定直線上，試證明之。

Answer 1

解：(1)由已知，圓C₂的圓心為C₂(0，-1)，半徑，
由題設(shè)圓心C₂到直線l：y=2x+m(m＜0)的距離d=，
解得m=-6(m=4舍去)．
設(shè)l與拋物線C1相切的切點為A₀(x₀，y₀)，
又y′=2ax，得2ax₀=2，
所以，
代入直線方程，得，解得，
所以m=-6，。
(2)由(1)知拋物線C₁的方程為，焦點為，
設(shè)，
由(1)知以A為切點的切線方程為，
令x=0，得點B的坐標(biāo)為，
則，，
所以=(x₁，-3)，
設(shè)M(x，y)，
則=(x₁，-3)，
所以，即M點在定直線上。