Question

3．已知f（x）=|2x+3|-|2x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＞|3a-2|成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，得到關(guān)于x的不等式組，解出取并集即可；
（Ⅱ）求出f（x）的最大值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）＜2，
等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}x＜-\frac{3}{2}\\-（2x+3）+（2x-1）＜2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}\\（2x+3）+（2x-1）＜2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＞\frac{1}{2}\\（2x+3）-（2x-1）＜2\end{array}\right.$，
得$x＜-\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{2}≤x＜0$，
即f（x）＜2的解集是（-∞，0）；
（Ⅱ）∵f（x）≤|（2x+3）-（2x-1）|=4，
∴f（x）_max=4，∴|3a-2|＜4，
解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（-\frac{2}{3}，2）$．

點(diǎn)評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．