Question

9．若L是過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸不重合的一條直線，則此橢圓與L垂直且被L平分的弦有0條．

Answer 1

分析 由題意可設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），一個(gè)焦點(diǎn)為（c，0），設(shè)直線方程為y=k（x-c），交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀），運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和點(diǎn)差法，結(jié)合兩點(diǎn)的斜率公式，可得中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀=$\frac{{a}^{2}}{c}$＞a，這與中點(diǎn)在橢圓內(nèi)矛盾，即有這樣的弦不存在．

解答 解：由題意可設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
一個(gè)焦點(diǎn)為（c，0），
設(shè)直線方程為y=k（x-c），
交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀），
則x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，
由$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1，
兩式相減可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}$=-$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{^{2}}$，
由直線l與AB垂直，則$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{k}$，
即有$\frac{{x}_{0}}{{a}^{2}}$=$\frac{{y}_{0}}{k^{2}}$，
又y₀=k（x₀-c），
解得x₀=$\frac{{a}^{2}}{c}$＞a，
這與中點(diǎn)M在橢圓內(nèi)矛盾，
故直線AB與橢圓沒有交點(diǎn)．
∴橢圓被l垂直平分的弦不存在．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了兩直線垂直斜率間的關(guān)系，運(yùn)用點(diǎn)差法解題是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．