Question

如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，AC=AB=2

2

，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC 上，且EF⊥BC．現(xiàn)沿EF 將△BEF 折1起到△PEF的位置，使PF⊥CF，點(diǎn)D 在PC上，且PD=

1

2

DC．
（1）求證：AD∥平面PEF；
（2）求二面角A-PC-F的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）建立以F為原點(diǎn)，分別以FC、FE、FP所在直線為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系，求出平面PEF的一個(gè)法向量，由此利用向量法能證明AD∥平面PEF．
（2）求出平面APC的一個(gè)法向量和平面PCF的一個(gè)法向量，由此利用向量法能求出二面角A-PC-F的余弦值．

解答： 解：（1）證明：∵EF⊥BC，PF⊥CF，
∴建立以F為原點(diǎn)，分別以FC、FE、FP所在直線為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系，
如右圖所示，則F（0，0，0），C（3，0，0），A（1，2，0），D（1，0，

2

3

），
由題意知

FC

=（3，0，0）為平面PEF的一個(gè)法向量，
又∵

AD

=（0，-2，

2

3

），∴

FC

•

AD

=0，
又AD?平面PEF，∴AD∥平面PEF．
（2）解：由（1）知P（0，0，1），E（0，1，0），
∴

n

=（x₁，y₁，z₁），

n • PC =3x1-z1=0 n • AC =2x1-2y1=0

，
令x₁=1，解得

n

=（1，1，3）為平面APC的一個(gè)法向量，
又∵

FE

=（0，1，0）為平面PCF的一個(gè)法向量，
∴cos＜

n

，

FE

＞=

FE • n

| FE |•| n |

=

11

11

，
∴二面角A-PC-F的余弦值為

11

11

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意向量法的合理運(yùn)用．